Според едно древно източно предание, един мъдър владетел решил да покаже на враждуващите теолози, представящи изповядваните в неговите земи религии, че източник на техните разногласия е неизбежно непълното ни и ограничено постигане на абсолютната истина. За целта, той ги въвел в тъмна стая, където имало нещо, което те трябвало да разпознаят единствено благодарение на осезанието си. Това нещо бил слон, който те описали по напълно различен начин, защото всеки от тях докоснал в мрака различна част тялото му. Това обстоятелство трябвало да им покаже нагледно, че в общуването си с безкрайното ние никога не можем да постигнем пълно разбиране¹.

Според мен, неизбежно фрагментарните опити на Иван Пунчев да улови в математическа форма неизчерпаемото съдържание на диалектическата логика могат да бъдат мислени по сходен начин. Безкрайният предмет, който той се опитваше да разбере през целия си живот, изискваше работата му да остане незавършена. Задачата на настоящия текст е да представи в обозрим вид един възможен подход към същата проблематика, който съзнателно се опира на това, което успях да науча от него през няколкото години, в които имах щастието да го познавам. Нищо от казаното по-долу, обаче, не трябва да му бъде еднозначно приписвано, тук става дума само за щрихиране на аспекти, при това в една от многото им възможни интерпретации, което не претендира да възпроизвежда вярно идеите му. След това уточнение, ще се опитам да покажа как можем да използваме математически апарат, за да изявим същината на съдържателната Хегелова диалектика.

Вероятно не би било напълно неправилно да твърдим, че предмет на диалектическата логика е динамично конституиращото се съдържание на понятията². Екстензионално погледнато, обаче, всяко понятие детерминира определено множество: това е множеството от съществуващите неща, за които то може да бъде истинно предицирано. Тъкмо това съображение мотивира въвеждането на следната дефиниция:

Дефиниция 1. Нека ни е даден универсум (клас от обекти) U и понятие (т.е. свойство на тези обекти) Р; тогава, под екстензия на Р ще разбираме множеството M_P =_DF {x  x  U  P(x)}.

Съответно, можем да въведем два особени вида понятия, които ще ни интересуват по-долу:

Дефиниция 2. Нека ни е даден универсум U и понятие Р; ще казваме, че Р е универсално (относно U) тогава и само тогава, когато M_P  U = U.

Дефиниция 3. Нека ни е даден универсум U и понятие Р; ще казваме, че Р е празно (относно U) тогава и само тогава, когато M_P  U = .

Теорията на множествата ни предоставя екстензионални операции, с чиято помощ на всяко понятие (или понятия) можем да съпоставим ново понятие (или понятия):

Дефиниция 4. Нека ни е даден универсум U и понятия P, Q и R; тогава ще казваме, че: (a) Р е допълнение на Q (P = Q^C), ако M_p  M_q =  (сечението на екстензиите на P и Q е празно) и M_p  M_q = U (обединението на екстензиите на P и Q съвпада с обема на универсума); (b) R e обединение на P и Q (R = P  Q), ако M_R = M_P  M_Q (екстензията на R е обединение на екстензиите на P и Q); (с) R е сечение на P и Q (R = P  Q), ако M_R = M_P  M_Q (екстензията на R е сечение на екстензиите на P и Q)³.

По-долу ще наричаме „концептуална система” всяка съвкупност от понятия, която е затворена относно операциите допълнение, обединение и сечение и съдържа универсално понятие за съответния универсум; мотивация за тази дефиниция предоставя обстоятелството, че такава съвкупност от понятия би ни позволила да изразим всички понятийни определения, относими към елементите на универсума:

Дефиниция 5. Нека ни е даден универсум U и множество от понятия С; ще наричаме С концептуална система (в U), тогава, когато е в сила следното: (а) ако Р принадлежи на С, то Р^С също принадлежи на С; (b) ако Р и Q принадлежат на С, то P  Q също принадлежи на С; (c) ако Р и Q принадлежат на С, то P  Q също принадлежи на С; (d) универсалното понятие на U принадлежи на С.

Универсумът U задава множеството от нещата, за които мислим, докато концептуалната система С задава множеството от техните свойства, които сме в състояние да изразим; по силата на това обстоятелство,

Дефиниция 6. Множество от пропозиции Т ще наричаме теория на концептуалната система С (с универсум U), тогава и само тогава, когато всяка пропозиция р  Т има вида „Р(а)”, където а  U и Р  С.

Очевидно, можем да разглеждаме всяка пропозиция със субектно-предикатна форма като изказване относно принадлежност на обект „а” (елемент на универсума) към екстензията на понятие „Р” (елемент на концептуалната система). Съответно, този обект наричаме „субект” на пропозицията, а това понятие – „предикат” на пропозицията. Както обикновено, ще записваме пропозиция, аналитично представима чрез субект „а” и предикат „Р”, с помощта на формулата „P(a)”. При това положение разгледаните по-горе теоретико-множествени операции върху екстензията на понятия, пораждат логически операции върху (истинностните стойности на) пропозиции:

Дефиниция 7. Нека ни е даден универсум U и понятия P, Q и R; тогава ще казваме, че (а) пропозицията p e отрицание на пропозицията q (относно U), ако р има вида „P(а)”, q има вида „Q(а)” и Р е допълнение на Q (отрицанието на р ще означаваме с „р”); (b) пропозицията r е дизюнкция на пропозициите p и q (относно U), ако р има вида „P(a)”, q има вида „Q(b)”, r има вида „R(c)” (където с = a в случай че Р(а) е истинна и c = b в противен случай) и R е обединение на P и Q (дизюнкцията на p и q ще означаваме с „p  q”); (с) пропозицията r е конюнкция на пропозициите p и q (относно U), ако р има вида „P(a)”, q има вида „Q(b)”, r има вида „R(c)” (където c = a в случай, че Р(а) е неистинна и c = b в противен случай) и R е сечение P и Q (конюнкцията на p и q ще означаваме с „p  q”)⁴.

Всяка теория има две съществени свойства, изявени в следните дефиниции:

Дефиниция 8. Ще казваме, че теорията Т е непротиворечива, ако е в сила следното: за всяка пропозиция р, ако р  Т, то р  Т.

Дефиниция 9. Ще казваме, че теорията Т е пълна, ако е в сила следното: за всеки обект в универсума а и всеки предикат в концептуалната система Р, Р(а)  Т, или  Р(а)  Т.

В настоящия контекст, основното прозрение на Хегел, което е положено в основата на неговата диалектическа логика, може да бъде изказано по следния начин: нека допуснем, че нашият универсум U обхваща абсолютната тоталност на съществуващото и му съпоставим произволна достатъчно богата концептуална система С; тогава, всяка пълна теория на С ще бъде противоречива. Ако се вгледаме в историята на математическата логика през изминалото столетие, ще видим твърде сходна ситуация. В края на ХІХ век се появява теорията на множествата, която изследва свойствата на произволни съвкупности от „неща” и в този смисъл е онтологично универсална: неин предмет е абсолютната тоталност на съществуващото. Едва четвърт век след нейната поява, обаче, вече е налице дълъг списък от парадокси, изявяващи нейната противоречивост. Така изглежда, че тезисът на Хегел получава емпирично потвърждение в развитието на абстрактната математика.

Не веднъж е отбелязвано, че противоречивостта на теорията на множествата е пряко следствие от особеностите на нейната концептуална система, по-точно от силата на изразните й възможности. Езикът на Цермело-Френкеловата теория на множествата, формулиран в логика от първи ред, позволява въвеждане на парадоксални предикати от Ръселов тип: R(x) =_DF {x  x  M_R}. Поставяйки въпроса за екстензията на подобен предикат, неизбежно стигаме до противоречие, тъй като по дефиниция към нея принадлежи всяко нещо, което не й принадлежи (това „всяко” показва значението на допускането за онтологична универсалност на теорията на множествата). Следователно, от една страна, съществуването на Ръселовото множество е неизбежно следствие от структурата на концептуалната система на теорията на множествата, но от друга страна, то поставя под въпрос нейната универсалност, тъй като демонстрира съществуването на обекти, които тя не е в състояние да опише непротиворечиво. Така се оказваме изправени пред две алтернативи: да допуснем, че понятието R е празно и да ограничим по съответен начин концептуалната система, или да приемем, че самата теория не е универсална и да разширим нейната концептуална система. Първият вариант е прилаган по-често, но втория е по-близък до духа на Хегеловия подход; ето защо тук ще разгледаме именно него⁵. Ще покажем как универсумът U може да бъде разширен с нов тип „противоречиви” обекти, с което противоречието всъщност изчезва. Това разширение на универсума на теорията индуцира разширение на нейната концептуална система, a fortiori на самата теория. Както ще видим, този процес допуска елементарна формална експликация.

Нека разгледаме тройката <U, C, T>, където U e универсумът на теорията на множествата (класът на всички множества), С е концептуална система в U (съвкупността от изразимите свойства на тези множества), а Т е теория на С (множеството от всички теоретико-множествени пропозиции, които приемаме за истинни). Формулирането на Ръселовия предикат R позволява да й съотнесем тройката <U’, C’, T’>, където U’ = U  ˆx (R(x)) (с "^" означавам Ръселовия оператор за абстракция), C’ е затваряне на множеството от предикатите Р, за които М_Р  U’ (в частност, по построение R  C’; R може да се разглежда като допълнение относно U’ на универсалното понятие на U), а Т’ съдържа всички истинни пропозиции от вида P(a), където а  U’ и Р  С’. Това съотнасяне може да се разглежда като резултат от действието на монотонен оператор , за когото <U, C, T> = <U, C, T> = <U’, C’, T’>. Операторът  „снема” противоречието, тъй като въведения по-горе предикат R позволява формулирането на противоречие в <U, C, T>, но е напълно безобиден в <U’, C’, T’>. Противоречието, обаче, е само снето, а не отстранено напълно, тъй като в <U’, C’, T’> можем да формулираме аналогичен предикат R’, който също позволява извеждането на противоречие. Така получаваме безкрайна редица <U, C, T>, <U’, C’, T’> [= <U, C, T>], <U’’, C’’, T’’> [= <U’, C’, T’> = ²<U, C, T>] и т.н.

За да разглеждаме тази процедура като експликация на описания от Хегел процес на динамично конституиране на съдържанието на понятията, трябва да покажем, че снемането на противоречието в дадена концептуална система води до нарастване на съдържанието на понятията в нея. Първото условие за това е да покажем какво ще разбираме под съдържание на понятие в настоящия контекст. Това е задачата на следната дефиниция:

Дефиниция 10. Нека ни е даден универсум U и концептуална система C; под съдържание на понятието P (относно С) ще разбираме множеството I_С(Р) =_DF {Q  Q  C  M_p  M_q  0}.

 

(Бележка на редакцията: поради технически проблем, на който не можахме да намерим решение, публикуваме статията на две части. Поднасяме извинения на автора и на читателите. Продължението на статията можете да прочетете тук.)