(continued from Part One)

 

За да получим новия Алеф, повдигаме мярката на измерността с предходния Алеф. Което всъщност удостоверява прибавянето на още един Алеф към степенуваното множество, за да възникне новото множество. От значение е числото на мярката на измерност, което повдигаме, покриваме с предходния Алеф, за да образуваме новия и да отразим издигането в мярката на измерността и самото число на възходящото степенуване на кардиналността на континуума c. Това, че новият Алеф е върху всичко преди него, върху степенуването на всичко преди него. Затова и степенуването не е просто прибавяне на Алеф, а е повдигане с предходния на мярката на измерността, да се образува числото на следващия Алеф. Получаваме нов израз на общата формула на Хипотезата за континуума за образуването на новите Алефи върху степенуването на континуума c. С ν ще изразим общата тоталност на крайните кардинални числа в нарастването на Алефите и като отмерване на мярката на измерност:

 

 

Като цяло: получаваме Алефите в тяхното нарастване чрез операция върху предходните. Т.е. това са наистина числа. Зад тях стои концепцията за степенуване и насищане на мощността на континуума c. Това означава, че Алефите работят върху мощността на континуума тъкмо с добиване на негова определена кардиналност. В това е спецификата им на числа. Удовлетворяват дефинирането на Кантор, че „всяка числова мощност“ се представя върху „редицата“ от „по-високи числови класове” „върху цялото абсолютно безкрайно множество на числата“ (Jourdain 1915: 62), върху континуума c, и чрез собствената им редица на добиване и нарастване. Но тогава какво число е  ?

 

5. Числото 

5.1. Израз на 

От получените равенства върху кардиналността на континуума c едно се откроява със завършената и начална чистота на своите параметри. Това е  -изразът на Q, множеството на рационалните числа върху континуума c, което е същински едноизмерното множество, точно равнимо на простата кардиналност на континуума c. Оттук можем да извлечем самото число  и да го дефинираме тъкмо в съотношение спрямо Q, множеството на рационалните числа, като онова множество, което непосредствено е построено върху самите крайни числа. И така можем да получим израз на  тъкмо върху крайните числа, с което да търсим неговата собствена величина.

Ако вземем:

 

 ,

 

то за да получим  ₀, ще логаритмуваме:

 

 

Това е вече определено число, със свой точен израз и своя числова стойност.

Числото  се получава от логаритмуването на простата кардиналност на континуума c върху основа

 

 

Ще интерпретираме този резултат.

Числото  подразделя континуума c напълно върху определена основа, основа, която трябва да представлява точна десетична дроб или точна десетична периодична дроб.  е число, което точно кодифицира, парцелира и изразява с някакъв коефициент, величина общата проста кардиналност на континуума c. С това то може да изразява континуума c до едно определено съотношение, въплътено, обобщено до една крайна, затворена цялост. Така ако имаме точни числови параметри на континуума c, взет като една всеобща кардиналност на количествени или физически и т.н. параметри, и определим – може и върху основа на статистическо търсене на определено съотношение

 

 ,

 

то можем да намерим общият коефициент на организацията, на степенуването (в съответната област) на  . Оттук спрямо  може да се извлекат параметрите на всички сложни, тотални структури в съответната област.

Най-общата интерпретация сочи, че  е число на сложно организираните структури. Когато отразим неговата повторимост и монотонност върху кардиналността на континуума c, ще получим матрици на повторимост – според съотношението – основа, които създават т.нар. фрактали. Възможно е  да даде коефициент, общо число на неорганичното. Но особено изразима е неговата възможна величина като мярка на органичното: като високоорганизирани цялости – едновременно повторими и степенуващи се, интензифициращи се, там където има връзка, ред и повторимост и организация.

По този път можем да получим и видове безкрайности по техния коефициент на  спрямо общата кардиналност на съответния континуум и демонстрирана основа на общото числово съотношение в областта. Те са върху винаги сложни, степенуващи се структури и се определят в нарастващата си по степен вътрешна организираност. И обратното – във всяко нещо от действителността може да се демонстрира „затворената безкрайност” и нейното собствено число, което структурира и оформя нейния „тип” върху общата кардиналност на съответния континуум, като съотношението точно затваря структурираната и конвертирана безкрайност и така я оформя в една „крайна” организация. По този начин наистина чрез такова изчисление и интерпретиране на  трансфинитните числа точно решават истинските въпроси на действителността: „различни числови класове са представители на мощности, които действително се явяват във физическата и менталната природа” (Tait 2000: 12), както ги дефинира самият Кантор.

 

5.2. Към основите на Теорията на числата

Тук ще обобщим получените резултати, тъй като Алефите оформят своя числова редица,  се демонстрира като число тъкмо върху спрягането на простата кардиналност на континуума c. Тогава трябва да влезе в сила Канторовият принцип на добре-наредеността: „Винаги е възможно да се внесе едно добре дефинирано множество във формата на добре-наредено множество – закон, който е фундаментален и възхитителен по принципа на генералната си валидност” (Tait 2000: 21). Това осигурява един общ поглед върху самото число като „нареждащ тип” (Cantor 1915: 110; Stewart 2009: 62), а върху безкрайните числа като нареждащ и степенуващ тип.

Ще оформим една обща база от аксиоматични положения, които отвеждат към очертанията на една основа в самата Теория на числата.

 

1. От принципа на Кантор, с генерализация: Всяко множество може да е добре наредено.

 

Ян Стюарт посочва изрично това като убеденост на Кантор, че „всяко множество може да бъде добре наредено“ (Stewart 2009: 64; вж. Jourdain 1915: 63). Това ще е така, ако се намери собственият му ред и организация. Или те се съотнесат към такива в областта на елементите на съответното множество.

 

2. Всяко числово множество е добре наредено.

 

Тъкмо в това е концепцията за „нареждащия тип” на числата. Те сами по себе си са мярка, отмерване и построяване на някаква наредба. И тя в основата си е по възходящ или съответно низходящ ред. Точно това прави като цяло числата и техните редове мощен инструмент за овладяване на всякакви количествени отношения и построения.

 

3. Оттук, обаче, „Всяко добре наредено множество е измеримо чрез някакво число” (Tait 2000: 8).

 

То може да генерира „втори числови клас, който е тоталността на всички добри-наредби” (Allen 2017: 8) и изобщо нови класове, които да разгръщат неговата собствена мощност.

Но тогава и идва „степенуващият тип” на една наредба. Което е и ултимативната цел на числата: да осигурят пълно интензифициране на своето нареждане.

Тогава това интензифициране трябва да се осъществява върху континуума c. Както Кантор определя едно такова тотално съотношение: „Също така струва ми се забележително, че всеки числов клас – и следователно всяка мощност, съответства на определено число от абсолютно безкрайната тоталност на числата“ (Jourdain 1915: 62).

 

4. Всяко число по мощност (с генерализация, както и всяко число изобщо) е определимо и измеримо чрез кардиналността на континуума c (чрез определена операция и организация на континуума c).

 

Последното аксиоматично положение е самата пълна и ултимативна аксиома на Теорията на числовите множества.

От тези положения веднага могат да бъдат направени следните изводи:

 

I. Числата закономерно и с необходимост растат към безкрайните числа.

 

II. Има редове от безкрайни числа.

 

III. Няма числово множество, което да не може да е изброимо. Само че ще има типове изброимост. Само един вид от тях е изброимостта в 1:1 съответствието с N, множеството на естествените числа.

 

Формулираните аксиоматични положения и техните изводи изискват едно разширение в Теорията на безкрайните множества и на безкрайните числа. Нека проследим неговите основаващи моменти.

 

6. Интензитет на едно множество

6.1. Интензитет

Нека обобщим пътя на извеждане на трансфинитните числа, в потвърждение на горните аксиоми. Въведохме една операция като безкрайно степенуване на всяко от познатите числови множества. То се повдига чрез едно безкрайно число. Това базово число е  . По този начин се получиха множества в едно степенно нареждане чрез числото  . Всяко множество се насити с  , превръщайки се в същинско и определено по производност подмножество на следващото. По този път с нарастването на степенуването с  и така с нарастването на Алефите нарастваше и собствената кардинална мощност на получените множества. Като те са насищаха все повече с нови и нови числа. Затова и самият континуум се умножаваше със себе си, което осигури неговата непрекъснатост и самото насищане на тази непрекъснатост. Така непрекъснатостта на континуума c се осигурява тъкмо чрез степенуване с безкрайно число, в базовото му насищане и измерност с базовото число  .

По този начин всяко множество доби своята опрeделена мярка на измерност спрямо останалите, спрямо континуума c и то чрез степента на повдигане с  и на произвеждане на нови Алефи. Именно тази степен на насищане на едно множество, т.е. като получено чрез степенуване с базовия Алеф или с едно безкрайно число, ще обособим като негово интензифициранеили интензитет. Интензитетът тогава е точната степен на насищане и съответно на непрекъснатост на едно множество. Вижда се, че интензитетът на едно множество е пряко свързан с неговото съотношение и производност върху континуума c.

Оттук числовите множества, интензифицирани с  , са свързани в корелиращо съответствие, със закона на корелацията на Кантор (Cantor 1915: 125 – 127), което е върху съотношението им спрямо  и неговото повтарящо се степенуване. Всяко следващо множество е тогава изразимо чрез останалите под него и чрез степенуването с  .  е базисното най-малко трансфинитно число, което осигурява точните измерения и така непрекъснатост и насищане на континуума c.

В степента и така в интензифицирането на едно множество може да се вземе и друго трансфинитно число, то ще осигури нови степени на насищане на континуума c и на разгъване на безкрайния потенциал на дадените множества.

Осигурява се нарастване на една мощност на множествата от безкрайна степен. Нейният растеж се определя от необходимостта да се реализира непрекъснатостта и пълнотата на континуума c.

Всяко така получено, приведено в безкрайна степен множество (с генерализация, всяко едно множество), има своята мярка на интензитет, която е свързана и с неговата мярка на измерност в континуума c. Това е неговата чиста корелация с кардиналността на континуума c. И е точното число, точната степен, с която то се е получило от степенуването с определено безкрайно число. Мярката на интензитета дава общото число на насищане на дадено множество спрямо кардиналността на континуума c.

Интензитетът на едно множество го свързва и с онези множества, от които то е производно. Така всяко едно (безкрайно) множество е във функция на безкрайно насищане спрямо своите подмножества. Интензитетът отваря възможностите на множеството по мощност на съответното множество и то с определена операция. Неговите подмножества трябва да разкрият собствените му пълни възможности да бъде вътрешно наситено и непрекъснато, и то така в пълната им комбинаторика и степенуване до своето множество. С това всяко едно множество насища едно поле, една тотална област в континуума c, която е вътрешно структурирана и вътрешно интензифицирана в тоталната кардиналност на своето множество по мощност.

Интензитетът на множествата осигурява обаче и нареждането на така дефинираните и така добитите множества. Нарастването (или намаляването) по безкрайното степенуване дава и собствен ординален тип на безкрайните множества. С което и демонстрира аксиомите от предходния параграф, аксиомата на числовите редове. Интензитетът свързва насищането на множествата спрямо кардиналността на континуума c с тяхната нареденост. Насищането и непрекъснатостта, осигурени с интензитета на едно множество, осигуряват неговата нареденост: спрямо континуума c и спрямо останалите множества в измерността на континуума c. С което е демонстрирана и ординалността на безкрайните числа. Това доказва, че безкрайните числа образуват редове. И означава, че редовете на безкрайните числа са също добре-наредени.

Можем да формулираме Аксиома на интензитета на едно множество: Интензитетът на едно (безкрайно) множество осигурява неговата добре-нареденост.

Оттук измерността на едно множество в континуума c е свързана с неговата непрекъснатост и насищане, интензитет. Колкото е по-голям интензитетът на едно множество, толкова то е по-наситено, с вътрешна непрекъснатост, върху континуума c. Всъщност безкрайните множества се развиват към все по-голям интензитет и оттук към все по-голяма непрекъснатост и насищане. А това е и общата цел на всички числови множества, на тоталното множество на числата изобщо.

 

6.2. Трансфинитното число ω₀

Ако отчетем интензитета на спрегнатите множества в континуума c, ще получим степенувана и наредена мощност на c. Имаме степенуване към все по-наситени безкрайни множества, получени върху  , а оттук и получаваме един  -измерен континуум. Това е вече собственият ред на Алефите, дефинирани и от Кантор: „Трансфинитните числа могат да се подредят по тяхната величина и формират, както крайните числа, едно добре-наредено множество” (Cantor 1915: 109). Това е редът (Cantor 1915: 109):

 

 

Това означава, че и кардиналните числа на континуума в неговото степенуване могат да бъдат подредени:

 

c⁰, c¹, c², c³, c⁴,... , c^ν, ...

 

Идва обаче интензифицирането на самия континуум c с базовото трансфинитно число

 

 .

 

Това е вече интензифициране на континуума c, т.е. континуумът влиза в безкрайно степенуване. С което е отворен един нов ред на получаване на безкрайни числа (и съответно на безкрайни множества) – тяхната основа е едно чисто безкрайно множество, взето в неговата собствена тоталност. Това е интензифицираното множество на самия континуум. Така върху получения ред на Алефите – като едно чисто и първоначално безкрайно множество (съставено от безкрайни множества) се продуцира едно ново число – по безкрайна и интензифицирана кардиналност. То е най-малкото безкрайно число вече върху едно чисто безкрайно множество на Алефите и така има чистата мярка на един безкраен интензитет. Това е ω₀. Въведено от Кантор като „ω е най-малкото трансфинитно ординално число” (Jourdain 1915: 77), „ω наричам границата на нарастване на крайните числа ν, защото ω е най-малкото от всички числа, които са по-големи от всички крайни числа” (Jourdain 1915: 78).

Тук ω₀ е самата граница на  -числата, генериране на един нов ред на безкрайни числа, и съответно на безкрайното множество от точно следващото измерение и интензифициране на континуума c. Затова ω₀ трябва да се получи върху реда на Алефите. И то върху самото степенуване на този ред със самия себе си по числа. Т.е. както в точната измерност на континуума:

 

 .

 

ω₀ степенува с  първият самостоятелно получен Алеф, това е  . Това е и интензифициране на  :

 

 .

 

Второто ω-число ще се отнесе съответно към  , като го степенува с предходния Алеф:  или:

 

 .

 

ω-числата плавно извеждат безкрайното степенуване на Алефите и така имат общия израз  , повдигнато на степен  :

 

 .

 

С което ω-числата се демонстрират:

 

1. като следващия ред на безкрайните числа, следващи в измерността на континуума c;

 

2. ω насищат Алефите и следователно са тяхно интензифициране. Те са с по-висока степен на непрекъснатост и насищане спрямо континуума c;

 

3. ω-числата са чисти безкрайни числа, те са получени върху базовите безкрайни числа;

 

4. ω-числата са ординални числа, първите безкрайни ординали (и по своя произход) – имат чиста добра-наредба, като чисто безкрайно множество;

 

5. ω-числата трябва да имат и своя граница, с което да продуцират следващ ред трансфинитни числа. Тяхната наредба трябва да е ω-наредба, с което ще се генерира новата мярка на интензитет.

 

7. Изброимост на безкрайните множества

7.1.  -изброимост

Ако приемем добре-наредеността на едно множество като основополагаща за неговата изброимост, то добре-наредеността, позволява да се състави един пълен „списък” (Open Logic Text 2017: 34) на позиционирането и така на вътрешното комбиниране на всеки елемент от това множество спрямо останалите. При безкрайните множества този списък има безкрайни точни позиции. Но с това списъкът не може да хване пълния интензитет и вътрешна комбинаторика на едно безкрайно множество. Т.е. списъкът хваща наредбата, но не и интензитета и общо възможностите за собствено насищане на съответното безкрайно множество. Защото тогава самият „списък” трябва да е безкраен по мощност, самият той да има интензитет – да отваря пълната измерност и комбинаторика на множеството, което трябва да изброява.

С безкрайното степенуване имаме тогава  -измерност на континуума c, т.е. нашето изброяване се полага като матрица върху кардиналността на континуума c. И то с възможността вътрешно да се генерират нови и нови степени, като цялата получена изброимост и наредба на списъка отново се степенува и то като безкрайно интензифицирана. Така тя изброява основно чрез  – една изброимост на безкрайното множество чрез степенуването му с  . Това е базисният интензивен списък на изброимост на безкрайните множества – как се подрежда в n-измерности спрямо континуума c. Оттук и степенуването с  -числата е една добра-наредба на самото интензифициране на безкрайните множества върху кардиналността на континуума c. Това е изброимост на безкрайните множества в корелация с реда на  -числата. Като цяло  -изброимостта на безкрайните множества лежи в най-близка корелация с множеството на крайните числа.

С това още веднъж се потвърждава значението на  – всяко безкрайно число е генерирано в основата си върху  и оттук се спряга по различни начини и с различен интензитет спрямо него, а така и се свързва и работи винаги в корелация с кардиналността на континуума c.

Една от отличителните характеристики на  -списъка, на изброимостта на безкрайните множества, е, че той нарежда и отчита степенуването на цели множества, и то като безкрайни множества, върху една обща организация на континуума c. Предявяват се характеристики и спрямо точно структуриране на областта на списъка спрямо континуума c.

Всичко изведено дотук означава, че през  всяка една даденост, всяко едно явление или нещо ще може да намери своето място в континуума c, своята изразимост и степен в една наредена област от континуума c или върху самия континуум c.

 

7.2. ω-изброимост

На първо място ω-числата се демонстрираха като ординални числа, затова те ще имат чиста изброимост в  -измерния списък върху кардиналността на континуума c. Т.е. се получават върху степенуването на самите Алефи и така са точно  -спрегнатости върху кардиналността на континуума c.

За да имаме пълно ω-изброяване обаче, трябва да се построи възможно ω-изброяване и върху интервала {0; 1}, което вече ще се основе върху чистия ординален ред на ω-числата:

 

ω₀, ω₁, ω₂,..., ω_ν, ....

 

За целта ще предложим извеждането на едно общо трансфинитно число, което да даде ординален ред в този интервал. То ще бъде съответно  1 и  0, винаги по-малко от 1 и „растящо” в посока 0, т.е. по-голямо от 0, но като това ще означава, че общата стойност на това число все повече ще се приближава до 0. Продуцираме това число върху ω₀ като едно трансфинитно дробно число:

 

 

Но

 

 

е най-голямото трансфинитно ординално число в интервала {0; 1} и то се доближава най-плътно до самата 1 откъм безкрайното й приближаване.

Това число има рационален тип основа: т.е. е деление, ratio, отношение на единицата и най-малкото трансфинитно ординално число. Но по същество това е едно ирационално съотношение. Тук ще вземем и обосновката на Кантор: „ω е както числото  , което се смята за определено и завършено” (Jourdain 1915: 77).

Получаваме реда на ratio-трансфинитни числа, от които

 

 

 

 

е най-голямото ratio-трансфинитно число:

 

 

Тези числа имат ординален тип и са ω-изброими в този ординален тип, като насищат интервала {0; 1} с безкрайно и степенно приближение съответно към точките на неговата затваряне: 0 и 1. С което изразяваме този интервал с общото множество

 

 

и го осигуряваме като ω-изброим, а оттам и като безкрайно спрегнат в корелация с  -числата, и по-специално с  . Така и затвореният интервал {0; 1} става ред от безкрайни ординални числа, които са със своя добра наредба и интензитет спрямо континуума c.

Ако обаче вземем затвореният интервал като безкрайна поредица от 1 и 0, без добра (числова) наредба, за която Кантор доказва, че е неизброима в началния списък на кардиналността на едно множество, т.е. винаги съществуват подредби от 1 и 0, които остават извън този списък (Open Logic Text 2017: 39 – 40). Тогава трябва да изразим не тоталността на списъка, а тъкмо неговото разпадане. В подредбите няма добра нареденост и ординалност, макар че те са върху работената в случая ω-изброимост на затворения интервал. Списъкът се разцепва на два съотнесени списъка: единият на тотално наредени множества в ω-изброимостта, а другият списък – на оставащите неизброими множества. Техният „брой” е винаги по-малък от пълния ω-списък, затова ще приемем да го означим с едно число: а_ν, но с тенденцията на множеството на естествените числа да е проста безкрайност. Така ще имаме една ω-изброимост на така наредения интервал, в съотношението: а_ν : ω_ν или

 

 

Това е вече едно ratio-трансфинитно число, което изразява всяка ω-изброимост на затворения интервал {0; 1}.

По този начин все още и в ω-числата се инкорпорира ν – множеството на крайните кардинални числа, което, заедно с  и с реда на Алефите, работи за извеждане на изброимостта на безкрайните множества.

С полученото в ω-изброимостта всъщност демонстрирахме границите на ω-числата и то върху основата на среза на Дедекинд и Кантор. Имаме 2 ω-множества: върху тоталността на континуума c – като ред на чистите трансфинитни ординални числа, и върху затворения интервал {0; 1}. Което означава, че е генерирано следващо трансфинитно число. И е потвърден и изведен редът на трансфинитните числа.

А ω-числата се демонстрират като числата на непрекъснатия и добре-нареден безкрайно спрегнат континуум c.

 

8. Редове на трансфинитните числа

Редовете на трансфинитните числа трябва да представят конструкция, която да покаже как безкрайността, взета върху континуума c, се свежда до непрекъснатост, а оттам и до n-измерност, безкрайността да се разреши в нейното диференциране и числа. Вече демонстрирахме връзката между интензифицирането и непрекъснатостта, а оттам и спрямо наредеността на безкрайните множества върху континуума c. Тук ще положим аксиоматично и връзката между така организираната чрез интензифициране непрекъснатост и измерността на генерираните безкрайни множества. Колкото по-високо е интензифицирането и оттам се усилва, уплътнява непрекъснатостта, толкова по-висока е измерността на едно безкрайно множество.

Оттук можем да дефинираме редовете на трансфинитните числа, а и изобщо на числовите множества. Ще вземем дефиницията и основната конструкция на Дедекинд: за да докажем и конструираме непрекъснатостта на линеарния континуум c, трябва между всеки 2 числа, като точки върху правата L, да се намери още едно число, което да е между тях (Dedekind 2007a: 6). Но между две числа, респективно между две точки, може да се намери цяло множество от други числа, а впоследствие, с новите, още по-богати и наситени числови множества – една безкрайност от други числа. Тогава редовете на числовите безкрайни множества се организират и генерират тъкмо върху това овладяване на околността между всеки две числа от съответното множество. Въвеждаме термина „околност”, за да посочим огромния потенциал на това множество от нови числа между всеки две числа от съответните множества. Тъкмо в развиването на околността като продуцираща нови числа, респективно нови точки от континуума c, ще расте интензивността и съответно непрекъснатостта и измерността на числовите множества. Оттук ще предложим една обща конструкция на тази вече обемна, измерна проекция на континуума c и на генерираните редове на трансфинитните числа.

Ако според околността структурираме познатите числови множества, като ги въвеждаме в строга ординалност на всеки две поредни числа, за да изведем базовите измерения на континуума c, ще имаме:

 

[0-измерение] N – между всеки две поредни N-числа няма едно друго число;

 

[1-измерение] Q – между всеки две поредни Q-числа има тяхно съотношение, ratio, като безкрайно множество от степени;

 

[2-измерение] I – между всеки две поредни I-числа има безкрайни групи от нови числа – R;

 

[3-измерение] R – между всеки две поредни R-числа има безкрайна околност, пространство, от нови числа –  ;

 

[4-измерение]  – между всеки две поредни  -числа има поле от нови числа – ω;

 

[5-измерение] Ω – между всеки две поредни ω-числа има континуум от нови числа...

 

Ако следваме извеждането, то и ω-числата трябва да имат своя граница, която продуцира един следващ ред безкрайни числа. Те са върху континуума спрямо последния ω-ординал. И така са чисто степенни безкрайни числа върху самия тотално спрегнат континуум c. Ще ги наречем טּ-числа (от еврейската буква טּ, чете се „тет”). Тук само ще ги поставим, а след малко ще предложим тяхното конструиране върху извеждането на ω-числата:

 

[6-измерение] טּ – между всеки две поредни טּ-числа има пълно спрегнат континуум – един универсум, universe...

 

В тази обща конструкция се фиксира самото осъществяване на непрекъснатостта: върху извличане на нови числа, овладяващи околността между всеки 2 поредни числа от предходното множество, които стават вече сингуларности и определят така един нов интервал, нова околност за насищане. Затова и вече можем да дефинираме непрекъснатостта на континуума c: като образуване на нови интервали от вече положените числа-сингуларности и овладяване на тези интервали чрез безкрайно степенуване на континуума c. Във всеки интервал се полага нова „затворена” безкрайност, която обаче трябва да се разгърне и до обхващане и спрягане на тоталността на континуума c.

Непрекъснатостта се отлага върху генерираната околност: с нарастването на измерността на безкрайните множества тя започва все повече да се оформя като самостоятелна област от континуума, като търси изравняване с неговата тотална мощност. Оттук трябва да следва и тоталното степенуване и самоотношение на целия континуум c с целия себе си, което и се наблюдава в новите измерности. Те постепенно покриват и работят върху целия континуум c. Но в това е и същинската непрекъснатост на континуума c.

ω-числото е първото чисто безкрайно число. Неговата основа са трансфинитните числа  . В себе си то съдържа вече конструираната първа трансфинитност на Алефа, който и отново с Алеф, като предходен Алеф, бива повдигнат на степен, за да произведе ω-числото. Тогава тук генерираният интервал е между например  и  , като вторият се взима за основа на ω-числото, а със степенуването имаме обхващане, като степенуване, спрямо по-малкия Алеф. Така ω-числото „опакова”, конвертира по-големия Алеф като нова точка от континуума, като сингуларност и така ще структурира континуума c отново през сингуларности, т.е. като ординали. Но ω е и в степенуването с още един Алеф, а така насища околността между двата Алефа като сключване спрямо сингуларността. Чрез чистото степенуване на безкрайността със себе си ω са числа-кръгове, числа-рингове. Но като ω-рингове, които безкрайно се сключват и свеждат към  -сингуларността. Те се самозатварят около сингуларността. И така образуват отношение между  -сингуларността и безкрайното спрягане спрямо континуума c – което дава и „тялото” на ω-числото. То е като „фуния” с връх самата сингуларност и основа – ринга на степенуването. Около всяка  -сингуларност ω-числата растат като поредица от ω-рингове и се разгръщат във все по-пълни числа, все по-равномощни на континуума c. Което е вече поле в общото разгръщане на всеки  -интервал. В основата си ω-ринговете все повече насищат континуума c. Последното ω-число е рингът на тоталното обхващане на целия континуум c, с всеобщ връх върху  -сингуларностите. Имаме тяло на ω-числото върху целия континуум c.

С това вече имаме нова основа – за следващото трансфинитно число – טּ. То трябва да насити новия интервал, генериран между ω-сингуларностите и безкрайното насищане през ω-ринговете до последния Ω-ринг. Имаме съотношение на околното поле между ω-сингуларностите и тоталността на целия континуум c. При ω-числата и особено при следващия ред на טּ-числата се установява вече изравняване с разпънатата измерна мощност на континуума c. Това се отразява и на все по-тоталното степенуване и обхващане на континуума в тялото на тези числа. С това за първи път целият континуум се отнася към целия себе си:

 

c^c.

 

 Целият континуум c се степенува с целия себе си, давайки следващата измерност на новото безкрайно множество. טּ-числото има за свое тяло цялата ω-фуния от сингуларно развитите и над-редени един над друг ω-рингове. Затова и טּ-числото е вече един конвертиран континуум, то отчита чистото спрягане на целия континуум c със самия себе си и работи върху самата непрекъснатост на целия континуум c. То е безкрайно континуално число. С което то вече непосредствено активира собственото число на континуума c и то взето в пълната му мощност.

Можем да приемем основността на така развитата конструкция на трансфинитните редове на базата на първоначалните числови множества и измерности, основани върху множеството на естествените числа, върху базовото трансфинитно число  и върху множеството на  -числата. Демонстрира се нейната закономерност да насити континуума c до основния и чист размер на неговата собствена мощност, получена и равнима през разгърнатите базови измерения. Тогава с получаването на тоталното само-спрягане и самостепенуване на континуума cтази чиста мощност на размера му е постигната. Което обосновава и демонстрира базовия ред на основните измерения, тъкмо до продуцирането на טּ-числата, с които тази размерна мощност на континуума c е постигната. Постигната е и тоталната му базова непрекъснатост. Оттук ще следват безкрайни числа и техни редове, които да основат вече редовете на мощността на вътрешното насищане и интензитет на непрекъснато структурирания континуум c.

Извеждането на една такава обща конструкция на редовете на трансфинитните числа, основана върху цялото трансфинитното обосноваване на Хипотезата за континуума на Кантор, поставя въпроса за базовите измерности върху континуума c и оттук и за необходимостта реално да се овладее n-измерността на континуума c. Това би дало и един тотален поглед върху общата Теория на числата както откъм нейните основи и систематично построяване, така и откъм възможностите й да бъде същински инструмент за описание и изучаване на многомерните процеси и явления. С измерността навлиза конструирането на нови мощни числа, които не само имат чисто пространствена изразимост, но и започват да овладяват полето, самото движение и организиране през тоталността на континуума c. Така с истинското „опитомяване“ – с израза на Ян Стюарт – на безкрайността математиката ще може да стане математика на времето и мощен инструмент за моделиране на сложните процеси и явления в действителността до самия предел и интензивност на нейното физическо и концептуално обхващане.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

Allen J. D. 2017. The History of Infinity. Department of Mathematics. Texas A&M University.

Cantor G. 1915. Contributions to the Theory of Transfinite Numbers. New York.

Dedekind R. 2007a. Continuity and Irrational Numbers. // Dedekind, Essays on the Theory of Numbers. [Ebook #21016, Project Gutenberg License], pp.1 – 13.

Dedekind R. 2007b. The Nature and meaning of Numbers. // Dedekind, Essays on the Theory of Numbers. [Ebook #21016, Project Gutenberg License], pp.14 – 58.

Jourdain Ph. Introduction. 1915. // Cantor, Contributions to the Theory of Transfinite Numbers. New York, pp.2 – 82.

Stewart I. 2009. Taming the Infinite. The Story of Mathematics from the First Numbers to Chaos Theory. Quercusbooks Publisching, London.

Tait. W. W. 2000. Cantor’s Grundlagen and the Paradoxes of Set Theory. Cambridge: CUP (2000): 269-290.

The Open Logic Text. Complete Build. 2017-02-24. The Open Logic Project. Revision: 31eb28d.